圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一) 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一)

教学目标 

1．使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；

2．使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题；

3．培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律．

教学重点和难点

圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点．

教学过程 设计

一、创设情景，引入新课

圆是轴对称图形．圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题．今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性．

1．动态演示，发现规律

投影出示图7－47，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转180°后．问：

(1)结果怎样？

学生答：和原来的平行四边形重合．

(2)这样的图形叫做什么图形？

学生答：中心对称图形．

投影出示图7－48，并动态显示：⊙O绕圆心O旋转180°．由学生观察后，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．

投影继续演示如图7－49，让直径AB两个端点A，B绕圆心旋转30°，45°，

90°，让学生观察发现什么结论？

得出：不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合．

进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度α，你发现什么？

学生答：仍然与原来的图形重合．

于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性．即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合．

2．圆心角，弦心距的概念．

我们在研究圆的旋转不变性时，⊙O绕圆心O旋转任意角度α后，出现一个角

∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图7－50．(如有条件可电脑闪动显示图形．)

在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上．

在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书．

顶点在圆心的角叫做圆心角．

再进一步观察，AB是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是AB所对的弦．请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么？

学生答：过圆心O作弦AB的垂线．

在学生回答的基础上，教师指出：点O到AB的垂直线段OM的长度，即圆心到弦的距离叫做弦心距．如图7－51．(教师板书定义)最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系．(引出课题)

二、大胆猜想，发现定理

在图7－52中，再画一圆心角∠A′OB′，如果∠AOB=∠A′OB′，(变化显示两角相等)再作出它们所对的弦AB，A′B′和弦的弦心距OM，OM′，请大家大胆猜想，其余三组量 与 ，弦AB与A′B′，弦心距OM与OM′的大小关系如何？

学生很容易猜出： =，AB=A′B′，OM=OM′．

教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢？

学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到 =，怎样证明弧相等呢？

让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么？

学生：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．

请同学们想一想，你用什么方法让 和 重合呢？

学生：旋转．

下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明 =．

把∠AOB连同 旋转，使OA与OA′重合，电脑开始显示旋转过程．教师边演示边提问．

我们发现射线OB与射线OB′也会重合，为什么？

学生：因为∠AOB=∠A′OB′，

所以射线OB与射线OB′重合．

要证明 与 重合，关键在于点A与点A′，点B与点B′是否分别重合．这两对点分别重合吗？

学生：重合．

你能说明理由吗？

学生：因为OA=OA′，OB=OB′，

所以点A与点A′重合，点B与点B′重合．

当两段孤的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢？

学生： 与 重合，弦AB与A′B′重合，OM与OM′重合．

为什么OM也与OM′重合呢？

学生：根据垂线的唯一性．

于是有结论： =，AB=A′B′，OM＝OM′．

以上证明运用了圆的旋转不变性．得到结论后，教师板书证明过程，并引导学生用简洁的文字叙述这个真命题．

教师板书定理．

定理：在同圆____中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．

教师引导学生补全定理内容．

投影显示如图7－53，⊙O与⊙O′为等圆，∠AOB=∠A′O′B′，OM与

O′M′分别为AB与A′B′的弦心距，请学生回答 与 ．AB与A′B′，OM与O′M′还相等吗？为什么？

在学生回答的基础上，教师指出：以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同圆．(投影显示叠合过程)

这样通过叠合，把等圆转化成了同圆，教师把定理补充完整．

然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：

定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得出其余三组量相等．请同学们思考，在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗？如何证明？

在学生讨论的基础上，简单地说明证明方法．

最后，教师把这四个真命题概括起来，得到定理的推论．

请学生归纳，教师板书．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

三、巩固应用、变式练习

例1 判断题，下列说法正确吗？为什么？

(1)如图7－54：因为∠AOB=∠A′OB′，所以AB=．

(2)在⊙O和⊙O′中，如果弦AB=A′B′，那么 =．

分析：(1)、(2)都是不对的．在图7－54中，因为 和 不在同圆或等圆中，不能用定理．对于(2)也缺少了等圆的条件．可让学生举反例说明．

例2 如图7－55，点P在⊙O上，点O在∠EPF的角平分线上，∠EPF的两边交⊙O于点A和B．求证：PA=PB．

让学生先思考，再叙述思路，教师板书示范．

证明：作OM⊥PA，ON⊥PB，垂足为M，N．

把P点当做运动的点，将例2演变如下：

变式1(投影打出)

已知：如图7－56，点O在∠EPF的平分线上，⊙O和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D．

求证：AB=CD．

师生共同分析之后，由学生口述证明过程．

变式2(投影打出)

已知：如图7－57，⊙O的弦AB，CD相交于点P，∠APO=∠CPO，

求证：AB=CD．

由学生口述证题思路．

说明：这组例题均是利用弦心距相等来证明弦相等的问题，当然，也可利用其它方法来证，只不过前者较为简便．

练习1 已知：如图7－58，AD=BC．

求证：AB=CD．

师生共同分析后，学生练习，一学生上黑板板演．

变式练习．已知：如图7－58， =，求证：AB=CD．

四、师生共同小结

教师提问：

(1)这节课学习了哪些具体内容？

(2)本节的定理和推论是用什么方法证明的？

(3)应注意哪些问题？

在学生回答的基础上，教师总结．

(1)这节课主要学习了两部分内容：一是证明了圆是中心对称图形．得到圆的特性——圆的旋转不变性；二是学习了在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距之间的关系定理及推论．这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据．

(2)本节通过观察——猜想——论证的方法，从运动变化中发现规律，得出定理及推论，同时遵循由特殊到一般的思维认识规律，渗透了旋转变换的思想．

(3)在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件．

五、布置作业 

思考题：已知AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON分别是AB和 CD的弦心距，如果AB＞CD，那么OM和ON有什么关系？为什么？

板书设计 

课堂教学设计说明

这份教案为1课时．

如果内容多，部分练习题可在下节课中处理．

——摘自《初中几何教案》

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一)