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数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（每小题5分，共10小题，共50分），把答案涂在答题卡上.
1．设
，
，则
是
成立的（）
A．充分条件，但不是必要条件；B．必要条件，但不是充分条件；
C．充分且必要条件；D．既不充分又不必要条件.
2．已知
，
，且
与
平行，则
（ ）
A．
；B．
；C．
；D．
。
3．函数
是（）
A．周期为
的奇函数；B．周期为
的偶函数；
C．周期为
的奇函数；D．周期为
的偶函数.
4．已知
，则
=（）
A．―1；B．2；C．
；D．―1或2.
5．若
是各项为正的等比数列,且公比
,则
与
的大小关系是（）
A．
；B．
；
C．
；D．不确定.
6．设全集
是实数集
，
，
，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A 
；B．；
C．
；D．
.
7．若
，则
的值等于（）
A．
；B．
；C．
；D．
.
8．若
是等差数列，
是其前
项和，
，
，则
，
，
，…，
中最小的是（）
A．
；B．
；C．
；D．
.
9．设
是定义在实数集
上以2为周期的奇函数，已知
时，
，则
在
上（）
A．是减函数，且
；B．是增函数，且
；
C．是减函数，且
；D．是增函数，且
.
10．在△
中，
，下列关系式中正确的是（）
A．
；B．
；
C．
；D．
.
2006 届高三年级五校联考
数学试卷
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）
11．已知函数
，则
.
12. 将函数
的图象按向量
（其中，
）平移后与
的图象重合,则向量坐标
,
.
13．已知
且
，
，当
时，均有
，则实数
的取值范围是.
14．设函数
，给出下列四个论断：
①它的周期为
；②在区间
上是增函数；③它的图象关于点
成中心对称；④它的图象关于直线
对称.
请以其中两个论断为条件，另两个论断为结论，写出一个你认为正确的命题：
（请用如下形式答题：①②
③④）.
三、解答题：（共6小题，共80分）
15．（本小题满分12分）若A、B、C是△ABC的内角，cosB＝
, sinC＝
,
求cosA的值.
16．（本小题满分12分） 已知数列
满足：
，
.求证：数列
是等比数列，并求其通项公式.
17. （本小题满分14分）已知函数：
.
（Ⅰ）求函数
的最大值和最小值；
（Ⅱ）
时，求函数
满足
的x的集合.
18. （本小题满分14分）设函数
（Ⅰ）当
求函数满足
时的
的集合；
（Ⅱ）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数.
19.（本小题满分14分）已知：f(x)＝
,数列{
}的前n项和记为
,点
(
,
)在曲线y＝f(x)上(n∈N+)，且
， 
.
（I）求数列{
}的通项公式;
（II）求证：
.
（Ⅲ）数列{
}的前n项和为
，且满足： 
.
设定的值，使得数列{
}是等差数列.
20. （本小题满分14分）若定义在区间D上的函数
对于区间D上的任意两个值
总有以下不等式
成立，则称函数
为区间D上的凸函数;
（1）证明：定义在R上的二次函数
是凸函数；
（2）对于（1）中的二次函数
，
若
,求
取得最大值时函数
的解析式；
（3）定义在R上的任意凸函数
,
若
，证明：
.
江西省2006届高三五校联合考试
数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（每小题5分，共10小题，共50分），把答案涂在答题卡上.
1．（ A ）2．（ C ）3．（ D ）4．（ B ）5．（ A ）
6．（ C ）7．（ B ）8．（ B ）9．（ D ）10．（ B ）
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）
11．
12. 
1.
13．
.14．①④
②③或①③
②④
三、解答题：（共6小题，共74分）
15．（本小题满分12分）若A、B、C是△ABC的内角，cosB＝
, sinC＝
,
求cosA的值.
解：∵ cosB＝
, ∴sinB＝
, 又sinC＝
, cosC＝±
, …………4分
若cosC＝－
, 则角C是钝角,角B为锐角,π－C为锐角,而sin(π－C)＝
,
sinB＝
,于是： sin(π－C)< sinB……（5分）
∴ B >π－C, B＋C>π,矛盾,
∴ cosC≠－
, …………7分
cosC＝
,…………8分
故：cosA＝－cos(B＋C)＝－(cosBcosC－sinBsinC)＝
, …………12分
（说明：本题如果没有去掉cosC＝
，扣3分）
16．（本小题满分12分） 已知数列
满足：
，
.求证：数列
是等比数列，并求其通项公式.
16.解：
依题意得：
…………2分
（n=1,2,…）…………5分
…………8分
故数列
是等比数列. …………10分
…………12分
17. （本小题满分14分）已知函数：
.
（Ⅰ）求函数
的最大值和最小值；
（Ⅱ）当θ=
时，求函数
满足
的x的集合.
17． 解：（Ⅰ）
] ………………2分
……（4分）
= 
……………6分
………………8分
（Ⅱ）由y =
……………………12分
…………14分
18. （本小题满分14分）设函数
（Ⅰ）当
求函数满足
时的
的集合；
（Ⅱ）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数.
18．解：（Ⅰ）当
,化为
……（3分）
故，满足（Ⅰ）条件的集合为
.……（5分）
（Ⅱ）在区间
上任取
，则
……（7分）
……（8分）
因
故
，又在
上
,
……（10分）
∴只有当
时，即
时.
才总有
,……（12分）
∴当
时,
在
上是单调减函数.(14分)
说明：本题若令
求出
，没有考虑
的充分性扣2分
19.（本小题满分14分）已知：f(x)＝
,数列{
}的前n项和记为
,点
(
,
)在曲线y＝f(x)上(n∈N+)，且
， 
.
（I）求数列{
}的通项公式;
（II）求证：
.
（Ⅲ）数列{
}的前n项和为
，且满足： 
.
设定
的值，使得数列{
}是等差数列.
19.解：（Ⅰ）由于y＝
∵点An(
,
)在曲线y＝f(x)上(n∈N+)
∴
= f(
)= 
,并且
……（2分）
，
∴数列{}为等差数列，并且首项为
=1，公差为4……（4分）
∴
=1+4（n—1），∴
∵
，
∴
……（5分）
（II）
……（8分）
……（10分）
（Ⅲ）由
，
得：
……（12分）
，如果
，此时
……（13分）
，
此时，数列{
}是等差数列.……（14分）
20. （本小题满分14分）若定义在区间D上的函数
对于区间D上的任意两个值
总有以下不等式
成立，则称函数
为区间D上的凸函数；
（1）证明：定义在R上的二次函数
是凸函数；
（2）对于（1）中的二次函数
，
若
,求
取得最大值时函数
的解析式；
（3）定义在R上的任意凸函数
,
若
，证明：
.
20.证明：（1）任取x1、x2
R,则
2f(
)－[f(x1)+f(x2)]
=2[a(
)2 + b
+c] －[a x12+bx1+c] － [a x22+bx2+c]
=
[(x1+x2)2－2(x12+x22)]= －
(x1－x2)2……（2分）
a<0
2f(
)－[f(x1)+f(x2)] 
0
由定义得 y = f(x)是R上的凸函数……（4分）
（2）
解得
……（5分）
|f(4)|=|16a+4b+c|=|f(1)-3f(2)+3f(3)|
|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)|
|f(1)| 
1，|f(2)| 
2,|f(3)| 
3
|f(4)| 
|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)| 
16……（6分）
a<0时f(x)= ax2+bx+c开口向下，
当且仅当
时取等号，代入上式得
f(x)= －4x2+15x－12……（8分）
（3） 不妨设m = p+i, 其中i 由定义知，任意x1、x2 取x1 = p、x2 = p+2则有f(p)+f(p+2) 变形得f(p) －f(p+1) 同理有 f(p+1) －f(p+2) f(p+2) －f(p+3) f(p+4) －f(p+5) …… f(p+k-2) － f(p+k－1) 累加求和得：f(p)－f(p+k－1) 即f(p)+ f(p+k) 递推i次得 f(p)+ f(p+k) 令p+k = q,得f(p)+f(q) 
p、q、m、n
且p
p+q = m+n
m－p = q－n = i
R,有f(x1)+f(x2)
2f(
)……（9分）
2f(p+1)
f(p+1) － f(p+2)
f(p+2) － f(p+3)
f(p+3) －f(p+4)
f(p+5) － f(p+6)
f(p+k－1) －f(p+k)
f(p+1) －f(p+k)
f(p+1)+ f(p+k－1) ……（11分）
f(p+1)+ f(p+k－1) 
f(p+2)+f(p+k－2) 
…
f(p+i)+f(p+k－i)
f(p)+ f(p+k)
f(p+i)+f(p+k－i)
f(p+i) + f(q－i)
m－p = q－n = i
f(p)+f(q) 
f(m)+f(n)……（14分）
